Question

【題目】如圖，已知△ABC 中，AB 為半圓 O 的直徑，AC、BC 分別交半圓 O 于點 E、D，且 BD＝DE．

(1)求證：點 D 是 BC 的中點．

(2)若點 E 是 AC 的中點，判斷△ABC 的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ABC是等邊三角形．

【解析】

（1）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB=∠ADC=90°，證明△BAD≌△CAD，根據全等三角形的性質證明；

（2）根據直角三角形的性質得到DE=AE=EC，得到CA=CB，根據等邊三角形的判定定理證明．

（1）連接AD，

∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵BD=DE，

∴，

∴∠BAD=∠CAD，

在△BAD和△CAD中，，

∴△BAD≌△CAD（ASA），

∴BD=DC，即點D是BC的中點；

（2）∵△BAD≌△CAD，

∴AB=AC，

∵∠ADC=90°，點E是AC的中點，

∴DE=AE=EC，

由（1）得，DE=BD=DC，

∴CA=CB，

∴CA=CB=AB，

∴△ABC是等邊三角形．