Question

19．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分別是邊BC，CD邊上的動點，且AE=AF，設△AEF的面積為y，EC的長為x．
（1）求y與x之間的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）當x取何值時，△AEF的面積最大，最大面積是多少？
（3）在直角坐標系中畫出y關于x的函數的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質可得AB=AD，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根據△AEF的面積等于正方形的面積減去三個直角三角形的面積列式整理即可得解；
（2）結合（1）中二次函數解析式和x的取值范圍來求△AEF的面積的最大值；
（3）利用（1）中二次函數解析式畫出函數圖象，注意x的取值范圍．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4-x，
∴y=4²-2×$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$x²，
=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
∵E、F分別是BC、CD邊上的動點，且保證A、E、F能構成三角形，
∴x的取值范圍是：0≤x≤4；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，0＜x≤4，
∴當x=4時，△AEF的面積最大，最大面積是8；

（3）如圖所示，

點評 本題考查了四邊形綜合題，涉及到了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的面積以及二次函數最值的求法和二次函數圖象，熟記性質并求出三角形全等是解題的關鍵．