Question

如圖，在平面直角坐標系中，有平行四邊形ABCD，且A（-1，0），B（0，），C（3，0），BD交x軸于E點．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若反比例函數（k≠0）與BC交于M、N兩點，且BM=MN，求k；
（3）在反比例函數（k≠0）上取一點F，使∠BFE=30°，連接AF，判斷AF與BF、EF之間存在怎樣的數量關系并證明．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），
∴AB²=1+3=4，BC²=9+3=12，AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）MG⊥y軸于G，NH⊥y軸于H，則MG∥NH，
∴GM：HN=BG：BH=BM：BN=1：2．
設點M的坐標為（a，b），由HN=2GM可知N點的橫坐標為2a，
又∵M、N都在反比例函數（k≠0）的圖象上，
∴N點的縱坐標為=b，即N點的坐標為（2a，b），
∴OH=b，OG=b，
∴GH=OH=b，
又∵BG=GH，
∴BG=GH=OH=b，
由OB=，可得b=．
同理，由OC=3，可得a=1．
∴k=ab=；

（3）AF與BF、EF之間存在的數量關系是AF²=BF²+EF²．理由如下：
以EF為邊構造等邊三角形EFP，連接BP，AF，則△BFP為直角三角形，
則BP²=BF²+PF²，
可證△AFE≌△BPE（SAS），
得AF=BP，
從而可得AF²=BF²+EF²．
分析：（1）先求出AB，AC，BC的長，再根據勾股定理的逆定理即可得出∠ABC=90°，從而判斷平行四邊形ABCD是矩形；
（2）如果分別過點M、N作MG⊥y軸于G，NH⊥y軸于H，則MG∥NH，設點M的坐標為（a，b）．根據平行線分線段成比例定理及M、N都在反比例函數（k≠0）的圖象上，可得M、N為線段BC的三等分點，從而分別求出a，b的值，則k=ab可求；
（3）AF與BF、EF之間存在的數量關系是AF²=BF²+EF²．以EF為邊構造等邊三角形EFP，連接BP，AF，則△BFP為直角三角形；則BP²=BF²+PF²，可證△AFE≌△BPE（SAS），得AF=BP，從而可得AF²=BF²+EF²．
點評：本題主要考查了反比例函數的性質、矩形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，有一定的難度．