Question

如圖，在平面直角坐標系中，點M是第一象限內一點，過M的直線分別交軸，軸的正半軸于A，B兩點，且M是AB的中點. 以OM為直徑的⊙P分別交軸，軸于C，D兩點，交直線AB于點E（位于點M右下方），連結DE交OM于點K.

（1）若點M的坐標為（3，4），①求A，B兩點的坐標；  ②求ME的長；

（2）若，求∠OBA的度數；

（3）設（0<<1），，直接寫出關于的函數解析式.

Answer 1

解：（1）①如答圖，連接，

∵是⊙P的直徑，∴.

∵，∴∥，∥.

∵點M是AB的中點，

∴點D是AB的中點，點C是OA的中點.

∵點M的坐標為（3，4），

∴.

∴點B的坐標為（0，8），點A的坐標為（6，0）.

②在中，∵，

∴由勾股定理，得.

∵點M是AB的中點，∴.

∵，，∴.∴.

∴.∴.

（2）如答圖，連接，

∵，∴.∴.

∵，∴是的中位線. ∴∥.∴

又∵.∴.∴.

∵是⊙P的直徑，∴. ∴.

∵，∴.∴.

∵在中，點M是AB的中點，∴. ∴.

（3）關于的函數解析式為.

【分析】（1）①連接，由三角形中位線定理求得A，B兩點的坐標.

②要求ME的長，由知只要求出和的長即可，的長可由長的一半求得，而長可由勾股定理求得；的長可由的對應邊成比例列式求得.

（2）連接，求得得到，由得到，即因此求得.

（3）如答圖，連接，

∵是⊙P的直徑，∴.

∵（0<<1），不妨設，

∴在中，.

設，則.

∵在中，，∴.

∴.

∵，∴.

∴.

∵點P是MO的中點，∴.

∴.

∴關于的函數解析式為.