Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=

2

x

于點D，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）對任意的實數(shù)b（b≠0），求證：AD•BD為定值；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸，DE⊥y軸
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE．

（2）證明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE．
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4為定值．

（3）存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形．
若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
設(shè)OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在y=

2

x

上，
∴2a•a=2，
∴a₁=-1（舍去），a₂=1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直線：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．