Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點Q（x，y）．給出如下定義：若 ，則稱點Q為點P的“伴隨點”．例如：點（1，2）的“伴隨點”為點（5，0）．

（1）若點Q（﹣2，﹣4）是一次函數y＝kx+2圖象上點P的“伴隨點”，求k的值．

（2）已知點P（m，n）在拋物線C1：y＝上，設點P的“伴隨點”Q（x，y）的運動軌跡為C2．

①直接寫出C2對應的函數關系式．

②拋物線C1的頂點為A，與x軸的交點為B（非原點），試判斷在x軸上是否存在點M，使得以A、B、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由．

③若點P的橫坐標滿足﹣2≤m≤a時，點Q的縱坐標y滿足﹣3≤y≤1，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2) ①y＝x2﹣3x+6;②見解析;③2≤a≤6.

【解析】

（1）根據伴隨點定義可求k的值

（2）①根據伴隨點的定義可求C2的解析式

②先求A，B坐標，以A、B、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則分三類討論，根據平行四邊形的性質可求M點坐標

③由x＝m+4可得 2≤x≤a+4，且拋物線頂點坐標為（6，﹣3），﹣3≤y≤1可得6≤a+4≤10，可求a的取值范圍．

解（1）設P（x，kx+2）

根據題意得：

解得：

（2）①根據題意可得

∴

∴C2的解析式：，

②∵拋物線C1：

∴B（4，0），A（2，﹣1）

∵以A、B、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形

∴若BA為邊，BM為邊，則AB∥MQ，AQ∥BM

∴Q與A的縱坐標相同

∴

∴

解得：

∴或，

∵AQ＝BM，A（4，0）

∴或，

若AB為邊，BM為對角線，

∴對角線AQ與BM互相平分且交點在x軸上

∴Q點縱坐標為1

∴

解得x1＝2，x2＝10

∴AQ中點橫坐標為6或2，且AQ與BM互相平分

∴M（8，0）或（0，0）

若BM為邊，AB為對角線，

∴AB的中點且AB與MQ互相平分

∴Q或

∵MQ的中點為，

∴M或，

∴綜上所述M或，（0，0），（ 8，0）

，.

③∵x＝m+4，﹣2≤m≤a

∴2≤x≤4+a

∵C2的解析式：

∴頂點坐標為（6，﹣3）

∵﹣3≤y≤1

∴當y＝1時，x＝2或10

∴6≤4+a≤10

∴2≤a≤6.