Question

【題目】如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C、A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；

（2）求S與t的函數關系式；

（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+；（2）S=t2（0＜t≤2）；S=t-1（2＜t≤3）；S=﹣t2+4t﹣（3＜t＜4）；（3）存在；t=1或2；

【解析】

（1）設出此拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由與t的取值范圍不能確定，故應分三種情況進行討論，
①當0<t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數值即可求出其面積；
②當2<t≤3，設PQ交AB于點G，作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S梯形OAGP，由梯形的面積公式即可求解；
③當3<t<4，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN，進而可求出答案；
（3）根據圖形旋轉的性質可求出將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°時P、Q兩點的坐標，再根據拋物線的解析式即可求出t的值．

（1）方法一：由圖象可知：拋物線經過原點，

設拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

把A（1，1），B（3，1）代入上式得：

，

解得．

∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x．

方法二：∵A（1，1），B（3，1），

∴拋物線的對稱軸是直線x=2．

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+h（a≠0）

把O（0，0），A（1，1）代入

得，

解得，

∴所求拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+．

（2）分三種情況：

①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，

∵A（1，1），

∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=tcos 45°=t．S=t2，

②當2＜t≤3，設PQ交AB于點G，作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，

則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP．

∴AG=FH=t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．

③當3＜t＜4，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．

因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=t，

∴PC=CN=t﹣3，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2，

S=﹣t2+4t﹣．

（3）存在．

當O點在拋物線上時，將O（t，t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去），t=1；

當Q點在拋物線上時，Q（t， t）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2．

故t=1或2．

.