Question

25、附加題：已知△ABC的三邊長均為整數，△ABC的周長為奇數．
（1）若AC=8，BC=2，求AB的長；
（2）若AC-BC=5，求AB的最小值；
（3）若A（-2，1），B（6，1），在第一、三象限角平分線上是否存在點P，使△ABP的面積為16？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由三角形的三邊關系知，AC-BC＜AB＜AC+BC，△ABC的周長為奇數，而AC、BC為偶數，故AB為奇數，在范圍內求奇數AB的值；
（2）根據AC-BC=5可知：AC、BC中一個奇數、一個偶數，又△ABC的周長為奇數，故AB為偶數，再根據AC-BC＜AB＜AC+BC，求AB的最小值；
（3）存在．因為A（-2，1），B（6，1）兩點在平行于x軸的直線上，且AB=6-（-2）=8，而△ABP的面積為16，由三角形計算面積公式可知，點P到AB的距離為4，又P點在第一、三象限角平分線上，由此可求P點坐標．

解答：解：（1）由三角形的三邊關系知，AC-BC＜AB＜AC+BC，
即：8-2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，
又∵△ABC的周長為奇數，而AC、BC為偶數，
∴AB為奇數，故AB=7或9；

（2）∵AC-BC=5，
∴AC、BC中一個奇數、一個偶數，
又∵△ABC的周長為奇數，故AB為偶數，
AB＞AC-BC=5，得AB的最小值為6；

（3）存在．由A（-2，1），B（6，1）兩點坐標可知：AB∥x軸，且AB=6-（-2）=8，
而△ABP的面積為16，由三角形計算面積公式可知，點P到AB的距離為4，
即P點縱坐標為5或-3，又P點在第一、三象限角平分線上，故P點坐標為（5，5）或（-3，-3）．

點評：本題考查了構成三角形邊的條件的運用，數的奇偶性分析及坐標系中求三角形面積的問題．