Question

【題目】在等腰直角三角形中，，，點在斜邊上（），作，且，連接，如圖（1）．

（1）求證：；

（2）延長至點，使得，與交于點．如圖（2）．

①求證：；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析

【解析】

（1）依據AC=BC，可得∠CAB=∠B=45°，依據AQ⊥AB，可得∠QAC=∠CAB=45°=∠B，即可得到△ACQ≌△BCP；

（2）①依據△ACQ≌△BCP，則∠QCA=∠PCB，依據∠RCP=45°，即可得出∠QCR=45°=∠QAC，根據∠Q為公共角，可得△CQR∽△AQC，即可得到CQ2=QAQR；

②判定△QCH≌△PCH（SAS），即可得到HQ=HP，在Rt△QAH中，QA2+AH2=HQ2，依據QA=PB，即可得到AH2+PB2=HP2．

（1）∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

又∵AQ⊥AB，

∴∠QAC=∠CAB=45°=∠B，

在△ACQ和△BCP中，

，

∴△ACQ≌△BCP（SAS）；

（2）①由（1）知△ACQ≌△BCP，則∠QCA=∠PCB，

∵∠RCP=45°，

∴∠ACR+∠PCB=45°，

∴∠ACR+∠QCA=45°，即∠QCR=45°=∠QAC，

又∠Q為公共角，

∴△CQR∽△AQC，

∴，

∴CQ2=QAQR；

②如圖，連接QH，

由（1）（2）題知：∠QCH=∠PCH=45°，CQ=CP．

又∵CH是△QCH和△PCH的公共邊，

∴△QCH≌△PCH（SAS）．

∴HQ=HP，

∵在Rt△QAH中，QA2+AH2=HQ2，

又由（1）知：QA=PB，

∴．