Question

【題目】如圖，已知P是正方形ABCD內一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以點B為旋轉中心，將△ABP按順時針方向旋轉使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點．

（1）請畫出旋轉后的圖形，說出此時△ABP以點B為旋轉中心最少旋轉了多少度；

（2）求出PG的長度；

（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由；

（4）請你計算∠BGC的角度．

Answer 1

【答案】（1）△ABP以點B為旋轉中心最少旋轉了90度；（2）2；（3）△PCG是直角三角形；（4）135°

【解析】

（1）直接利用旋轉的性質即可得出結論；
（2）先判斷出BP=BG，進而利用等腰直角三角形的性質即可得出結論；
（3）利用勾股定理的逆定理即可得出結論；
（4）先求出∠BGP=45°，再求出∠PGC=90°，即可得出結論．

解：（1）如圖，

由旋轉知，旋轉角為∠ABC＝90°，

∴△ABP以點B為旋轉中心最少旋轉了90度；

（2）連接PG，由旋轉知，BP＝BG，∠PBG＝∠ABC＝90°，

∵BP＝2，

∴BG＝BP＝2，

∴PG＝BP＝2；

（3）由旋轉知，CG＝AP＝1，

由（2）知，PG＝2，

∵PC＝3，

∴PG2+CG2＝8+1＝9，PC2＝9，

∴PG2+CG2＝PC2，

∴△PCG是直角三角形；

（4）由（2）知，BP＝BG，∠PBG＝90°，

∴∠BGP＝45°，

由（3）知，△PCG是直角三角形，

∴∠PGC＝90°，

∴∠BGC＝∠BGP+∠PGC＝135°．