Question

跳繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線．正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E．以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設此拋物線的解析式為y=ax²+bx+0.9．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如果小華站在OD之間，且離點O的距離為3米，當繩子甩到最高處時剛好通過他的頭頂，請你算出小華的身高；
（3）如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點O的距離為t米，繩子甩到最高處時超過她的頭頂，請結合圖象，寫出t的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線解析式，求其中的待定系數，選定拋物線上兩點E（1，1.4），B（6，0.9）坐標代入即可；
（2）小華站在OD之間，且離點O的距離為3米，即OF=3，求當x=3時，函數值；
（3）實質上就是求y=1.4時，對應的x的兩個值，就是t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得點E（1，1.4），B（6，0.9），代入y=ax²+bx+0.9得

a+b+0.9=1.4 36a+6b+0.9=0.9

，
解得

a=-0.1 b=0.6

，
∴所求的拋物線的解析式是
y=-0.1x²+0.6x+0.9；

（2）把x=3代入y=-0.1x²+0.6x+0.9得
y=-0.1×3²+0.6×3+0.9=1.8
∴小華的身高是1.8米；

（3）當y=1.4時，-0.1x²+0.6x+0.9=1.4，
解得x₁=1，x₂=5，
∴1＜t＜5．

點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．