Question

【題目】問題探究：

（1）已知：如圖①，△ABC中請你用尺規在BC邊上找一點D，使得點A到點BC的距離最短．

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．如圖②，P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點（不與B、C重合），請你根據托勒密（Ptolemy）定理證明：PA=PB+PC

問題解決：

（3）如圖③，某學校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現準備在草坪內放置一對石凳及垃圾箱在點P處，使P到A、B、C三點的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點P？若存在，請作出點P的位置，并求出這個最短距離（結果保留根號）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）過點A作BC邊的垂線，垂足為D，點D即為所求，見解析；（2）證明見解析；（3）點P到A、B、C三點距離之和的最小值約是m．

【解析】

（1）過點A作AD⊥BC于D，點D即為所求．

（2）由托勒密定理得：PABC=BPAC+CPAB．再由等邊三角形的性質得到AB=BC=AC，代入即可得到結論．

（3）如圖③，以BC為邊向外作正ΔBCD，再作它的外接圓，連接AD，與外接圓交于點P，點P就是所要求作的位置．由托勒密定理得到PD=BP+PC，而三點A、P、D共線，因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．過點D作DE⊥AC，交其延長線于點E．由含30°角的直角三角形的性質及勾股定理即可得出結論．

（1）過點A作BC邊的垂線，垂足為D，點D即為所求，如圖①．

（2）如圖②，由托勒密定理得：PABC=BPAC+CPAB．

又∵ΔABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴APBC=（BP+CP）BC．

∴AP=BP+PC．

（3）如圖③，以BC為邊向外作正ΔBCD，再作它的外接圓，連接AD，與外接圓交于點P，點P就是所要求作的位置．

由托勒密定理得：PD=BP+PC，而三點A、P、D共線，因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．

過點D作DE⊥AC，交其延長線于點E．

∵BC=CD=30，∠DCE=30°，∴DE=15，CE=．

在RtΔADE中，由勾股定理得：

=，則點P到A、B、C三點距離之和的最小值約是m．