Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的有（寫出所有正確結論的序號）
①△CMP∽△BPA；
②四邊形AMCB的面積最大值為10；
③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；
④線段AM的最小值為2 ；
⑤當△ABP≌△ADN時，BP=4 ﹣4．

Answer 1

【答案】①②⑤
【解析】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正確，
設PB=x，則CP=4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴ = ，∴CM= x（4﹣x），∴S四邊形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10，
∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，
當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故③錯誤，
作MG⊥AB于G，
∵AM= = ，
∴AG最小時AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣1）2+3，
∴x=1時，AG最小值=3，
∴AM的最小值= =5，故④錯誤．
∵△ABP≌△ADN時，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK= z，∴z+ z=4，∴z=4 ﹣4，∴PB=4 ﹣4故⑤正確．
故答案為①②⑤．

①正確，只要證明∠APM=90°即可解決問題．
②正確，設PB=x，構建二次函數，利用二次函數性質解決問題即可．
③錯誤，設ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．
④錯誤，作MG⊥AB于G，因為AM= = ，所以AG最小時AM最小，構建二次函數，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5．
⑤正確，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，列出方程即可解決問題．本題考查相似形綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．