Question

【題目】已知：是的直徑，，是的切線，是上一動點，若，，，則的面積的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

過點D作DQ⊥BC于點Q，則四邊形ABQD是矩形，進而求出，作MN∥CD與相切與點P，此時，點P是上所有的點中，到MN距離最小的點，即：此時，的面積的最小值= 平行四邊形MNCD面積的一半．過點M作ME⊥BC于點E，則AM=BE，ME=AB=8，通過切線長定理，列方程，求出BE=2，進而得到：NC=8，求出平行四邊形MNCD的面積，即可得到答案．

∵是的直徑，，是的切線，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴AD∥BC，即：四邊形ABCD是直角梯形，

過點D作DQ⊥BC于點Q，則四邊形ABQD是矩形，

∵，，，

∴QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6，DQ=AB=2×4=8，

∴，

作MN∥CD與相切與點P，此時，點P是上所有的點中，到MN距離最小的點，即：此時，的面積的最小值= 平行四邊形MNCD面積的一半．

過點M作ME⊥BC于點E，則AM=BE，ME=AB=8，

∵MN=CD=10，

∴，

∵MN是的切線，

∴MP=MA，NP=NB，

設MP=MA=BE=x，

∴10-x=6+x，解得：x=2，

∴BN=EN+BE=6+2=8，

∴NC=BC-BN=16-8=8，

∴平行四邊形MNCD的面積=NC×DQ=8×8=64，

∴的面積的最小值=64÷2=32．

故選B．