Question

【題目】如圖1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點E，過點E作DE∥BC交AB于點D，

（1）求證：△BDE為等腰三角形；

（2）若點D為AB中點，AB=6，求線段BC的長；

（3）在圖2條件下，若∠BAC=60°，動點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿射線BE運動，請直接寫出圖3當△ABP為等腰三角形時t的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BC=6；（3）當△ABP為等腰三角形時t的值為，6，.

【解析】

（1）由角平分線和平行線的性質可得到∠BDE=∠DEB，可證得結論；

（2）由條件可知BD=DE=DA=3，且DE為△ABC的中位線，可求得BC長；

（3）分BP=AP、BP=AB、AP=AB三種情況分別討論求t的值即可．

（1）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，

∴BD=ED，

∴△DBE為等腰三角形；

（2）∵點D為AB中點

∴AD=BD=ED=AB=3，

∵DE∥BC，

∴E為AC中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴BC=2DE=6；

（3）在（2）的條件下可知DE=DA，且∠BAC=60°，∴△ADE為等邊三角形，

∵BC=2DE=AB，

∴△ABC為等邊三角形，

當BP=AP時，過點P作PE⊥AB，交AB于點E，則BF=AB=6，

在Rt△PBF中，∠PBF=∠ABC=30°，

∴BP=，即t=，

當BP=BA時，此時BP=6，即t=6，

當AB=AP時，此時，BP=2BE=，

即t=，

綜上可知當△ABP為等腰三角形時t的值為，6，