Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D。

（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）若BD=5， DC=3，求AC的長。

Answer 1

【答案】
（1）證明: 如圖1，連接OD.
∵ OA=OD, AD平分∠BAC，
∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD，
∴ ∠ODA=∠CAD，
∴ OD//AC，
∴ ∠ODB=∠C=90°，
∴ BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，過D作DE⊥AB于E.

∴ ∠AED=∠C=90°，

又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,

∴ △AED≌△ACD.

∴ AE=AC, DE=DC=3，在Rt△BED中，∠BED =90°,由勾股定理，得BE= .設AC=x（x>0）, 則AE=x，在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得 ，

解得x=6，即 AC=6.

【解析】（1）要證BC是⊙O切線，點D在圓上，因此連接OD，需證明OD⊥BC。先根據等腰三角形的性質及角平分線的定義，證明∠ODA=∠CAD，再根據平行線的判定及性質證明∠ODB=∠C=90°，即可得出結論。
（2）抓住已知AD是∠BAC的平分線，DC⊥AC，根據角平分線的性質添加輔助線過D作DE⊥AB于E，得出DE=DC=3，根據勾股定理求出BE的長，再證明△AED≌△ACD，得出AE=AC，然后在Rt△ABC中，根據勾股定理即可求出AC的長。
【考點精析】通過靈活運用平行線的判定與性質和角平分線的性質定理，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上即可以解答此題．