Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．

（1）求點E坐標及經過O，D，C三點的拋物線的解析式；

（2）一動點P從點C出發，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ；

（3）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（0，﹣3），拋物線解析式為y=x2+x；（2）；（3）存在滿足條件的點M，其坐標為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）由折疊的性質可得CE，CO的長，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，即點E的坐標，設AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可得m的值，即可得點D的坐標，結合C，O兩點，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）用t表示出CP，BP的長，可證明Rt△DBP≌Rt△DEQ，得到BP=EQ，即可求的t的值；

（3）可設出N點的坐標，分三種情況①EN為對角線，②EM為對角線，③EC為對角線，根據平行四邊形的性質可求得對角線的交點橫坐標，從而可求得M點的橫坐標，再代入拋物線解析式即可求得點M的坐標.

（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，

∴在Rt△COE中，

OE==3，

∴E（0，﹣3），

設AD=m，則DE=BD=4﹣m，

∵OE=3，

∴AE=5﹣3=2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，

即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，

∴D（﹣，﹣5），

∵C（﹣4，0），O（0，0），

∴設過O、D、C三點的拋物線為y=ax（x+4），

∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，

∴拋物線解析式為y=x（x+4）=x2+x；

（2）∵CP=2t，

∴BP=5﹣2t，

∵BD=，DE==，

∴BD=DE，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），

∴BP=EQ，

∴5﹣2t=t，

∴t=；

（3）∵拋物線的對稱為直線x=﹣2，

∴設N（﹣2，n），

又由題意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），設M（m，y），

①當EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，如圖1，

，

則線段EN的中點

橫坐標為=﹣1，線段CM中點橫坐標為，

∵EN，CM互相平分，

∴=﹣1，解得m=2，

又M點在拋物線上，

∴y=×22+×2=16，

∴M（2，16）；

②當EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，如圖2，

，

則線段EM的中點，

橫坐標為=m，線段CN中點橫坐標為=﹣3，

∵EN，CM互相平分，

∴m=﹣3，解得m=﹣6，

又∵M點在拋物線上，

∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，

∴M（﹣6，16）；

③當CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，

則M為拋物線的頂點，即M（﹣2，﹣）．

綜上可知，存在滿足條件的點M，其坐標為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．