Question

【題目】已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，關于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有兩個相等實根，且3c＝a+3b

（1）試判斷△ABC的形狀；

（2）求sinA+sinB的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC為直角三角形；（2）.

【解析】

（1）先把方程整理為一般式，再根據判別式的意義得到△＝，則，然后根據勾股定理的逆定理判斷三角形形狀；

（2）由于，3c＝a＋3b，消去a得，變形為（4c5b）（cb）＝0，則b＝，a＝，根據正弦的定義得sinA＝，sinB＝ ，所以sinA＋sinB＝，然后把b＝，a＝代入計算即可．

解：（1）方程整理為（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，

根據題意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC為直角三角形；

（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b

∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，

∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，

∴4c＝5b，即b＝c，

∴a＝3c﹣3b＝c

∵sinA＝，sinB＝，

∴sinA+sinB＝．