Question

【題目】如圖，直線AB：y＝x+2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，C是第一象限內直線AB上一點，過點C作CD⊥x軸于點D，且CD的長為，P是x軸上的動點，N是直線AB上的動點．

（1）直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）如圖①，若點M的坐標為（0，），是否存在這樣的P點．使以O，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若有在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，將直線AB繞點C逆時針旋轉交y軸于點F，交x軸于點E，若旋轉角即∠ACE＝45°，求△BFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）點A（﹣4，0），點B（0，2）；（2）點P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）；（3）S△BFC＝.

【解析】

（1）令x＝0，y＝0可求點A，點B坐標；

（2）分OM為邊，OM為對角線兩種情況討論，由平行四邊形的性質可求點P坐標；

（3）過點C作CG⊥AB，交x軸于點G，由題意可得點C坐標，即可求直線CG解析式為：y＝2x＋，可得點G坐標，由銳角三角函數(shù)和角平分線的性質可得，可求點E坐標，用待定系數(shù)法可求直線CF解析式，可求點F坐標，即可求△BFC的面積．

（1）當x＝0時，y＝2，

當y＝0時，0＝×x+2

∴x＝﹣4

∴點A（﹣4，0），點B（0，2）

故答案為：（﹣4，0），（0，2）

（2）設點P（x，0）

若OM為邊，則OM∥PN，OM＝PN

∵點M的坐標為（0， ），

∴OM⊥x軸，OM＝

∴PN⊥x軸，PN＝

∴當y＝時，則＝x+2

∴x＝﹣1

當y＝﹣時，則﹣＝x+2

∴x＝﹣7

∴點P（﹣1，0），點P（﹣7，0）

若OM為對角線，則OM與PN互相平分，

∵點M的坐標為（0，），點O的坐標（0，0）

∴OM的中點坐標（0，）

∵點P（x，0），

∴點N（﹣x，）

∴＝×（﹣x）+2

∴x＝7

∴點P（7，0）

綜上所述：點P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）

（3）∵CD＝，即點C縱坐標為，

∴＝x+2

∴x＝3

∴點C（3，）

如圖，過點C作CG⊥AB，交x軸于點G，

∵CG⊥AB，

∴設直線CG解析式為：y＝﹣2x+b

∴＝﹣2×3+b

∴b＝

∴直線CG解析式為：y＝﹣2x+,

∴點G坐標為（，0）

∵點A（﹣4，0），點B（0，2）

∴OA＝4，OB＝2，AG＝

∵tan∠CAG＝

∴

∵∠ACF＝45°，∠ACG＝90°

∴∠ACF＝∠FCG＝45°

∴，且AE+EG＝

∴AE＝

∴OE＝AE﹣AO＝

∴點E坐標為（，0）

設直線CE解析式為：y＝mx+n

∴

解得：m＝3，n＝

∴直線CE解析式為：y＝3x

∴當x＝0時，y＝

∴點F（0，）

∴BF＝

∴S△BFC＝.