Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形MNC中．CN=MN= ，將△MNC繞點C順時針旋轉60°，得到△ABC，連接AM，BM，BM交AC于點O．
（1）∠NCO的度數為；
（2）求證：△CAM為等邊三角形；
（3）連接AN，求線段AN的長．

Answer 1

【答案】
（1）15°
（2）證明：∵∠ACM=60°，CM=CA，

∴△CAM為等邊三角形

（3）解：連接AN并延長，交CM于D，

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，

∴NC=NM= ，CM=2，AC=AM=2，

在△ACN和△AMN中，

，

∴△ACN≌△AMN（SSS），

∴∠CAN=∠MAN，

∴AD⊥CM，CD= CM=1，

∴Rt△ACD中，AD= CD= ，

等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，

∴AN=AD﹣ND= ﹣1．

【解析】（1）由旋轉可得∠ACM=60°，再根據等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，運用角的和差關系進行計算即可得到∠NCO的度數；（2）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形進行證明即可；（3）根據△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，判定△ACN≌△AMN，再根據Rt△ACD中，AD= CD= ，等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，即可得到AN=AD﹣ND= ﹣1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對等邊三角形的判定的理解，了解三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．