Question

已知，如圖，菱形ABCD的一邊BC在x軸上，且C點坐標為（-1，0），D點坐標（0，

3

）．反比例函數y=

k

x

過菱形的頂點A．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若P為反比例函數在第四象限的圖象上一點，點Q在x軸上，問是否存在點P、Q，使得四邊形CDQP為矩形？若存在，求出P和Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據C（-1，0），D（0，

3

）求出CD的長，進而得出A點坐標，再把A點坐標代入反比例函數y=

k

x

即可求出k的值，進而得出反比例函數的解析式；
（2）設Q（x，0），P（a，b），在Rt△CDQ中根據勾股定理可求出x的值，進而得出Q點的坐標，設矩形CDQP的中點為O，求出O點坐標，再根據線段DP的中點也是O點即可得出點P的坐標．

解答：解：（1）∵C（-1，0），D（0，

3

），
∴CD=

(-1)2+( 3 )

2=2，
∴A（-2，

3

），
∵點A在反比例函數y=

k

x

上，
∴k=（-2）×

3

=-2

3

，
∴反比例函數的解析式為：y=-

2 3

x

；

（2）存在．
若四邊形CDQP為矩形，設Q（x，0），P（a，b），
∵∠CDQ=90°，
∴CD²+DQ²=CQ²，即4+3+x²=（x+1）²，
解得x=3，
∴Q（3，0），
∵CQ的中點坐標為（1，0），
∴線段PD的中點必是（1，0）
∴

a

2

=1，

3 +b

2

=0，
解得a=2，b=-

3

，
∴P（2，-

3

）．
∴點P（2，-

3

）滿足反比例函數y=-

2 3

x

．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到矩形的性質等知識，難度適中．