Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC=_______.

Answer 1

【答案】108°

【解析】

連接OB、OC，根據角平分線的定義求出∠BAO，根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，根據等邊對等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據三角形外心的性質可得OB=OC，再根據等邊對等角求出∠OCB=∠OBC，根據翻折的性質可得OE=CE，然后根據等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．

如圖，連接OB，OC.

∵ ∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線，

∴

又∵ AB=AC，

∴ .

∵ DO是AB的垂直平分線，

∴ OA=OB，

∴ ∠ABO=∠BAO=27°，

∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°.

∵ DO是AB的垂直平分線，AO為∠BAC的平分線，

∴ 點O是△ABC的外心，

∴ OB=OC，

∴ ∠OCB=∠OBC=36°，

∵ 將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，

∴ OE=CE，

∴ ∠COE=∠OCB=36°.

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，故答案為：108度.