Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx-3與軸交于，兩點（點在點左側），A(-1,0)，B(3,0)，直線與拋物線交于，兩點，其中點的橫坐標為。

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值；

（3）點是拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使，，，這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿足條件的點坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在4個符合條件的F點，分別為F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；

（2）將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標．由待定系數法可求出直線AC的解析式．PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值；

（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出F點的坐標．

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．

（2）將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1．

設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵P點在E點的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴當x=時，PE的最大值=．

（3）存在．討論如下：

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點．

∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x軸，此時AF=CG=2，∴F點的坐標是（﹣3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（﹣1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，設F（x，0）．

∵ACFG是平行四邊形，∴AF的中點與CG的中點重合．

∵AF的中點的縱坐標為0，∴C，G兩點的縱坐標互為相反數，∴G點的縱坐標為3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±，∴G點的坐標為（1±，3），∴AF的中點的橫坐標=CG的中點的橫坐標，∴ ，解得：x=，∴F的坐標為（，0）．

綜上所述：存在4個符合條件的F點，分別為F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．