Question

【題目】如圖，中，，，點為邊上的動點（不與、重合），

，交于點．

（1）與的大小關系為________．請證明你的結論；

（2）設，，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當是等腰三角形時，求的長；

（4）是否存在，使的面積是面積的倍？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】相等

【解析】

（1）由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形，即∠B=∠C=45°，已知∠ADE=45°，由三角形內角和定理以及平角的定義可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB，由此可證得兩角相等；

（2）由（1）的等角，聯立∠B=∠C=45°，可證得△DCE∽△ABD，根據相似三角形所得比例線段，即可表示出CE的長，進而由AE=AC-CE求得y、x的函數關系式；

（3）由于D與B、C不重合，顯然∠ADE=∠AED=45°不符合題意，即AD≠AE，所以此題分兩種情況討論：①AD=DE，此時（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的長，進而可得CE、AE的值；②AE=DE，此時∠DAE=45°，即AD平分∠BAC，由于△BAC是等腰直角三角形，根據等腰三角形三線合一的性質可知AD垂直平分BC，同理可證得DE垂直平分AC，即AE為AC長的一半，由此得解；

（4）若△DCE的面積是△ABD面積的2倍，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可知：CE=BD，然后表示出AE的長，代入（2）的函數關系式中，即可求得x的值，若x=0，則說明D、B重合，顯然不存在符合條件的x，若x的值符合（2）的自變量取值范圍，那么x的值即為所求．

相等；

證明如下：∵，，

∴．

如圖，

∵，

∴．

又∵，

∴

，

即，

∴；

由知，

又∵，

∴．

若，則，

由得，即，

，

，

，

∴，

其中；

∵點不能與點重合，∴不能成立，

（或：∵，若，

則，從而，

即與重合，這與已知條件矛盾）．

①當、為腰，即時（如圖），

，此時，平分，

∴為邊的中點（“三線合一”性質），

且也為邊的中點，∴；

②當、為腰，即時（如圖），

由知，此時與為對應邊，

∴，，

，；

綜上所述，當是等腰三角形時，

的長為或；

不存在．

原因如下：∵，若的面積是面積的倍，

則，

從而，，，

解得，即，就是說點與點重合，

這與已知條件矛盾，

∴不存在，使的面積是面積的倍．