Question

【題目】如圖，以AB為直徑作⊙O，過點A作⊙O的切線AC，連結BC，交⊙O于點D，點E是BC邊的中點，連結AE．

（1）求證：∠AEB=2∠C；

（2）若AB=6，，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）由AC是⊙O的切線，得出∠BAC=90°．再利用直角三角形斜邊中線定理、等腰三角形的性質、三角形的外角即可證出結論；

（2）連結AD，由圓周角定理的推論可得出∠ABD=90°．然后利用銳角三角函數即可得出答案.

詳解：（1）證明：∵AC是⊙O的切線，

∴∠BAC=90°，

∵點E是BC邊的中點，

∴AE=EC，

∴∠C=∠EAC，

∵∠AEB=∠C+∠EAC，

∴∠AEB=2∠C．

（2）解：連結AD．

∵AB為直徑作⊙O，

∴∠ABD=90°，

∵AB=6，，

∴BD=，

在Rt△ABC中，AB=6，，

∴BC=10，

∵點E是BC邊的中點，

∴BE=5，

∴．