Question

【題目】如圖，已知直線y=kx+6與拋物線y=+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=+2x+3；(2)存在；P（，）；(3)（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

試題分析：（1）由待定系數法確定函數解析式；

（2）先確定出點C坐標，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，

（3）分三種情況計算，分別判斷∽△DOB，∽△DOB，∽，列出比例式建立方程求解即可．

試題解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x+6，

由y=﹣2x+6=0，得x=3

∴B（3，0）．

∵A為頂點

∴設拋物線的解析為y=+4，

∴a=﹣1，

∴y=+4=+2x+3；

（2）存在．理由如下：

當x=0時y=+2x+3=3，

∴C（0，3）

∵OB=OC=3，OP=OP，

∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC，

作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

∴∠POM=∠PON=45°．

∴PM=PN

∴設P（m，m），則m=+2m+3，

∴m=，

∵點P在第三象限，

∴P（，）；

（3）①如圖，當=90°時，作AE⊥y軸于E，

∴E（0，4）

∵=∠DOB=90°，=∠BDO，

∴∽△DOB，

∴，即，

∴=，

∴=，

∴（0，）；

②如圖，

當=90°時，∠DBO+=+=90°，

∴∠DBO=，

∵∠DOB==90°，

∴∽△DOB，

∴，

∴，

∴=，

∴（0，）；

③如圖，當=90°時，==90°，

∴=90°，

∴，

∴，

∴，即，

∴=0，

∴=1或3，

∴（0，1）或（0，3）．

綜上，Q點坐標為（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．