Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個交點為B（-1，0），與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；
（2）以AD為直徑的圓經過點C．
①求拋物線的解析式；
②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．

Answer 1

（1）對稱軸是直線：x=1，
點A的坐標是（3，0）；

（2）①如圖，連接AC、AD，過D作DM⊥y軸于點M，
解法一：利用△AOC∽△CMD，
在y=ax²-2ax-b（a＞0）中，當x=1時，y=-a-b，則D的坐標是（1，-a-b）．
∵點A、D、C的坐標分別是A（3，0），D（1，-a-b）、
C（0，-b），
∴AO=3，MD=1．
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0．（3分）
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，（4分）
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，（5分）
∴函數解析式為：y=x²-2x-3．（6分）
解法二：利用以AD為直徑的圓經過點C，
∵點A、D的坐標分別是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b），
∴AC=

9+b2

，CD=

1+a2

，AD=

4+(-a-b)2

∵AC²+CD²=AD²
∴3-ab=0①（3分）
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b②（4分）
由①、②得a=1，b=3（5分）
∴函數解析式為：y=x²-2x-3．（6分）

②F點存在．

如圖所示，當四邊形BAFE為平行四邊形時
則BA∥EF，并且BA=EF．
∵BA=4，
∴EF=4
由于對稱軸為x=1，
∴點F的橫坐標為5．（7分）
將x=5代入y=x²-2x-3得y=12，∴F（5，12）．（8分）
根據拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側拋物線上也存在點F，
使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時點F坐標為（-3，12）．（9分）
當四邊形BEAF是平行四邊形時，點F即為點D，
此時點F的坐標為（1，-4）．（10分）
綜上所述，點F的坐標為（5，12），（-3，12）或（1，-4）．