Question

如圖，一次函數y=x-5分別交x軸、y軸于A、B兩點，二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A、B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（E點位于D點上方），DE=

2

．
①若點D的橫坐標為t，用含t的代數式表示D、E的坐標；
②拋物線上是否存在點F，使點F與點D關于x軸對稱，如果存在，請求出△AEF的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意可得A（5，0）B（0，-5）
代入解析式y=-x²+bx+c
解得

b=6 c=-5

，
∴解析式為：y=-x²+6x-5．

（2）①作DQ∥y軸EQ⊥DQ
∵OA=5，OB=5
∴△OAB為等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE為等腰直角三角形
∴DE=

2

，
∴DQ=EQ=1
∴D（t，t-5）
E（t+1，t-4）
②∵F與D關于x軸對稱
∴F（t，5-t）代入拋物線解析式
得5-t=-t²+6t-5
解得t₁=2 t₂=5
∵D、E異于A、B兩點
∴t=5舍去
∴t=2，
∴F（2，3），D （2，-3），E （3，-2），
∴AE=2

2

，EF=

26

，AF=3

2

，
∴AE²+AF²=EF²，
∴∠EAF=90°，
∴S_△AEF=2

2

×3

2

×

1

2

=6．