Question

【題目】如圖，⊙O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）求∠B的度數．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：如圖，連接OA、OB、OC，

∵AB與⊙O切于A點，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°。

∵四邊形ABCD為菱形，∴BA=BC。

在△ABO和△CBO中，∵，

∴△ABC≌△CBO（SSS）。∴∠BOC=∠OAC=90°。∴OC⊥BC。

∵OC是⊙O的半徑，∴BC為⊙O的切線。

（2）連接BD，

∵△ABC≌△CBO，∴∠AOB=∠COB。

∵四邊形ABCD為菱形，∴BD平分∠ABC，CB=CD。

∴點O在BD上。

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD。

∴∠BOC=2∠ODC。

∵CB=CD，∴∠OBC=∠ODC。∴∠BOC=2∠OBC。

∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°。∴∠ABC=2∠OBC=60°

【解析】

試題（1）連接OA、OB、OC、BD，根據切線的性質得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據菱形的性質得BA=BC，然后根據“SSS”可判斷△ABC≌△CBO，則∠BOC=∠OAC=90°，于是可根據切線的判定方法即可得到結論。

（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可。