Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AB、AC于點F、D，作DE⊥BC于E．有下面三個結論：①BD平分∠ABC;②DE＝DF;③BC+CD＝2AF;其中，正確的結論的個數是（　　）

A.3B.2C.1D.0

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到∠ABC=∠C=72°，再利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則DA=DB，所以∠DBA=∠A=36°，于是可對①進行判斷；接著根據角平分線的性質可對②進行判斷；通過計算出∠BDC=72°得到∠BDC=∠C，則BC=BD=AD，所以BC+CD=AC=AB，然后利用AB=2AF可對③進行判斷．

解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

由作法得MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠DBA＝∠A＝36°，

∴BD平分∠ABC，所以①正確；

∵DF⊥BF，DE⊥BE，

∴DE＝DF，所以②正確；

∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BC＝BD＝AD，

∴BC+CD＝AC＝AB，

∵MN垂直平分AB

∴AB＝2AF，

∴BC+CD＝2AF，所以③正確．

故選：A．