Question

【題目】請參照下面探究過程，完成所提出的問題．

(1)如圖1，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點．

若∠A＝30°，則∠BOC＝ ；

若∠A＝α，則∠BOC＝ (用含α的代數式表示)

(2)如圖2，在四邊形ABDC中，點O是∠ABD和∠ACD外角平分線的交點，寫出∠A、∠D與∠O之間的數量關系，并說明理由；

(3) 如圖3，在四邊形ABDC中，∠ABD和∠ACD外角的n等分線交于O，使∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO．直接寫出∠A、∠D和∠O之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）105°，90°+；（2）；（3）.

【解析】

（1）由三角形內角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根據角平分線的定義可求得∠OBC+∠，在△BOC中利用三角形內角和定理可求得∠BOC；

（2）設AC與BO的交點為M，延長BD交AC于N，根據三角形內角和等于180°，四邊形內角和等于360°，結合角平分線的定義即可得到∠A、∠D與∠O之間的數量關系；

（3）設AC與BO的交點為M，根據三角形內角和等于180°，四邊形內角和等于360°，可得到，，將前式代入即可得到結論.

（1）∵∠A=30°，

∴∠ABC+∠ACB=150°，

∵BO、CO是角平分線，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠BCO，

∴∠OBC+∠BCO=75°，

∵∠OBC+∠BCO+∠BOC=180°，

∴∠BOC=105°；

如圖，在中，是與的平分線和的交點，

（2）設AC與BO的交點為M，延長BD交AC于N，如圖所示：

∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°,

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABM

∵BM是∠ABD的平分線，

∴∠ABM=∠ABD，

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABD

∵∠AMB=∠CMO，

∴∠CMO=180°-∠A-∠ABD，

∵

∴

=

=

∴

∵∠DNC是△ABN的外角，

∴∠DNC=∠A+∠ABN，

∵∠ACD與∠ACE互為鄰補角，

∴∠ACD=180°-∠ACE，

∵∠BDC是△DCN的外角，

∴

=

=

=

（3）設AC與BO的交點為M，如圖所示：

∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°，

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABM

∵∠AMB=∠CMO，

∴∠CMO=180°-∠A-∠ABM，

∵

∴

=

=

∴

∵

∴

∵∠ACD+∠ACE=180°

∴∠ACD=180°-∠ACE

∵∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO，

∴∠D=

=

=

=

=

=