Question

【題目】如圖①：在△ABC中，∠ACB=90，△ABC是等腰直角三角形，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N.

（1）求證：MN=AM+BN.

（2）如圖②，若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N，則猜想AM、BN與MN之間有什么關系？請直接寫出結論，并寫出圖②中的全等三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN)

【解析】試題分析：

（1）由AM⊥MN于點M，BN⊥MN于點N可得∠AMC=∠BNC=∠ACB=90°，由此可得∠MAC+∠ACM=90°，∠ACM+∠BCN=90°，從而可得∠MAC=∠BCN，結合AC=BC，即可證得△ACM≌△CBN，即可得到MC=BN，AM=CN，結合MN=MC+CN可得MN=AM+BN；

（2）由題意和（1）同理可證△ACM≌△CBN，從而可得MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN).

試題解析：

（1）∵AM⊥MN, BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=∠ACB=90，

∴∠MAC+∠ACM=90，∠NCB+∠ACM=90，

∴∠MAC=∠NCB，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△AMC≌△CNB(AAS)，

∴AM=NC ，MC=BN，

∵MN=NC+MC，

∴MN=AM+BN，

（2）∵AM⊥MN, BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=∠ACB=90，

∴∠MAC+∠ACM=90，∠NCB+∠ACM=90，

∴∠MAC=∠NCB，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△AMC≌△CNB(AAS)，

∴AM=NC，MC=BN，

∵MN=MC-CN，

∴MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN).