Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+x+c過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB．過點B作x軸的垂線、過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D．

（1）求此拋物線的對稱軸；

（2）當t為何值時，點D落在拋物線上？

（3）是否存在t，使得以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為：x=；（2）當t=3時，點D落在拋物線上；（3）當t=﹣2+2、t=8+4時，以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似．

【解析】試題分析：（1）根據題意利用待定系數法求出函數解析式，從而得到對稱軸；（2）根據題意得出點M的坐標，根據旋轉的性質得出點E和點B的坐標，從而得到點D的坐標，然后求出t的值；（3）分0＜t＜8和t＞8兩種情況，每種情況分兩種情況進行討論計算，得出t的值．

試題解析：（1）由題得，，解得．

拋物線的解析式為： ，它的對稱軸為：

（2）由題意得： ， ．

是繞點P順時針旋轉90°而得， ， ．從而有．

假設在拋物線上，有， 解得

∵，即當時，點D落在拋物線上．

（3）①當時，如圖，

，

（1）若△∽△ADB，此時，有： ， ，即，

化簡得，此時無解。

若△∽△ADB， 此時，有： ， ，即，

化簡得： ，關于的一元二次方程的判別式，

由求根公式得：

， 。

②當時，如圖②，若△POA∽△ADB

（1）若△∽△ADB，此時，有：

，即，化簡得，解得（負根舍去）。

（2）若△∽△ADB，同理得此時無解。

綜合上述：當、時，以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似。