Question

【題目】如圖①，正方形中，點是對角線的中點，點是線段上(不與，重合)的一個動點，過點作且交邊于點．

(1)求證：．

(2)如圖②，若正方形的邊長為2，過作于點，在點運動的過程中，的長度是否發生變化?若不變，試求出這個不變的值；若變化，請說明理由．

(3)如圖③，用等式表示線段，，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PF為定植是 ，證明見解析；（3），證明見解析

【解析】

（1）作輔助線，構建全等三角形，根據ASA證明△BMP≌△PNE可得結論；

（2）如圖2，連接OB，通過證明△OBP≌△FPE，得PF=OB，則PF為定值是

（3）根據△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA= ， ，整理可得結論.

證明：（1）如圖1，過P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠D=90°

∵AD∥MN

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°

∴∠MPB+∠MBP=90°, ∠MPB+∠NPE=90°

∴∠EPN=∠MBP

Rt△PNC中，∠PCN=45°

∴△PNC是等腰直角三角形

∴PN=CN

∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°

∴四邊形MBCN是矩形

∴BM=CN

∴BM=PN

∴△BMP≌△PNE（ASA）

∴PB=PE

（2）在P點運動的過程中，PF的長度不發生變化，理由是：

如圖2，連接OB

∵點O是正方形ABCD對角線AC的中點，

∴OB⊥AC

∴∠AOB=90°

∴∠AOB=∠EFP=90°

∴∠OBP+∠BPO=90°

∵∠BPE=90°

∴∠BPO+∠OPE=90°

∴∠OBP=∠OPE

由（1）得：PB=PE

∴△OBP≌△FPE

∴PF=OB

∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形

∴∠BAO=45°

∴

∴PF為定植是

（3）如圖1，，理由是：

∵∠BAC=45°

∴△AMP是等腰直角三角形

∴

由（1）知：PM=NE

∴

∵△PCN是等腰直角三角形

∴