Question

【題目】如圖，在中，，點從點出發以每秒2個單位的速度沿向終點運動，過點作的垂線交折線于點，當點不和的頂點重合時，以為邊作等邊三角形，使點和點在直線的同側，設點的運動時間為（秒）．

（1）求等邊三角形的邊長（用含的代數式表示）；

（2）當點落在的邊上時，求的值；

（3）設與重合部分圖形的面積為，求與的函數關系式；

（4）作直線，設點關于直線的對稱點分別為，直接寫出時的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）的值為秒或秒．

【解析】

（1）分兩種情況討論：當點Q在線段AC上時，當點Q在線段BC上時，根據30度的直角三角形的性質或特殊的三角函數列式可得結論；

（2）根據PQ=PM，列出關于t的方程即可解答；

（3）分三種情況：①當時，Q在AC上，如圖2，△PQM與△ABC重合部分圖形是等邊△PMQ，

②當時，Q在BC上，如圖5，△PQM與△ABC重合部分圖形是四邊形PEDQ，

③當時，Q在BC上，如圖4，△PQM與△ABC重合部分圖形是等邊△PMQ，

根據面積公式可得結論；

（4）分兩種情況：

①當Q在AC上時，如圖6，根據AC=AQ+CQ，列關于t的方程可得結論；

當Q在BC上時，如圖7，根據CQ=Q'E=2PQ，列關于t的方程可得結論．

解：（1）由題意，得，在中，

∵，

∴，

∴，當點與點重合時，如圖①，

∵，

∴，

∴，即，當點在邊上時，如圖②，

即

當點在邊上時，如圖③，即，

在中，

∵，，

∴；

（2）當點落在上時，如圖④，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）分三種情況：①當時，點在上，如圖②，與重合部分圖形是等邊，

∴；

②當時，點在上，如圖⑤，與重合部分圖形是四邊形，

由（2）得，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴

③當時，點在上，如圖④，與重合部分圖形是等邊，

∴

綜上所述，與的函數關系式為

（4）分兩種情況：

①當點在上時，如圖⑥，，延長、交于同一點，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由對稱得：，

∴，中，，，

∵，

∴，

∵，

∴．

②當點在上時，如圖⑦，當時，點在上，連接，并延長、交上同一點為，易得，

∴，由（2）知，

∴，由得，

解得，則時的值為秒或秒．