Question

【題目】已知：等腰，，以為直徑的，分別交、于點、點．

（1）如圖1，求證：點為弧的中點；

（2）如圖2，點為直徑上一點，過點作，交過點且垂直于的直線于點，連接，，設，，求與的函數關系式；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為弧上一點，連接交于點，延長交于點，若，，，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）m=n+45；（3）

【解析】

（1）連接AC，根據題意知，∠ACB=90°，由AB=AE，等腰三角形三線合一可得AC平分∠BAE，相等的圓周角所對的弧相等即可證得；

（2）根據FH∥BC，推出∠ABE=∠BFH=∠CED=m°，由外角性質知DFB=∠A+∠ADF，利用三角形內角和180°以及∠DFH=135°，代換可得m與n的函數關系式；

（3）設∠DAC=∠BAC=，由（2）的結論可推出MN⊥AD，通過△BER≌△FGH，FG=DE，再利用勾股定理計算WM，可得出MN=2WM即可得結果．

（1）連接AC，

∵ AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=AE，

∴AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠EAC，

∴點C是弧BD的中點；

（2）∵AB=AE，FH∥BC，

∴∠BFH=∠EBA=∠E=m°，∠A=180°-2m°，

∵∠ADF=n°，

∴∠BFD=∠A+∠ADF=180°-2m°+n°，

又∵∠DFH=135°，∠DFH=∠BFH+∠BFD，

∴135°=m°+180°-2m°+n°，

∴m=45+n，

∴m與n的函數關系式為：m=45+n，

故答案為：m=45+n；

（3）設∠DAC=∠BAC=，

由（2）∠CED=∠ADF+45°，

∴∠ADF=90°--45°=45°-，

∴∠DFB=45°-+2=45°+，

∵∠BFM+2∠BFD=180°，

∴∠BFM=90°-2，

∵∠BFH=∠AFQ=90°-，

∴∠HFG=90°--（90°-2）=，

∴∠BFG+∠E=180°，

∴∠ESM=90°，即MN⊥AD，

導角：∠FDB=∠DFB=45°+，

∴BF=BD，

又∵∠E=∠BFH=90°-，

∴∠DBR=∠FBH=，

∴△BDR≌△BHF，

∴FH=DR，

可推出△BER≌△FGH，

∴FG=DE，

∵FG：AB=2：5，

∴DE：AE=2：5，

設DE=2，AE=5=AB，

∴AD=3，BD=4，

∴tan2=，tan=，

∴tan∠ADF=tan（45°-）=，

∵CB-FH=CK=QF=4，

∴AF=4，

∴SF=×4=，

AS=×3=，

DS=×3=，

AD=AS+DS=12，

∴TD-AD=6，

∴ST=OW=DS-DT=，

∴AB=×5=20，

∴r=10，

∴WM==，

∴，

故答案為：．