Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，BH⊥AB于點B，點M是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H．

（1）如圖①所示，若∠ABC=30°，求證：DF+BH=BD；
（2）如圖②所示，若∠ABC=45°，如圖③所示，若∠ABC=60°（點M與點D重合），猜想線段DF、BH與BD之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF+BH=BD；理由見解析

【解析】

（1）連接CF，由垂心的性質得出CF⊥AB，證出CF∥BH，由平行線的性質得出∠CBH=∠BCF，證明△BMH≌△CMF得出BH=CF，由線段垂直平分線的性質得出AF=CF，得出BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性質得出AD=BD，即可得出結論；
（2）同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質即可得出結論．

（1）證明：連接CF，如圖①所示：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵點M是BC的中點，
∴BM=MC，
在△BMH和△CMF中，

，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴BH=AF，
∴AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=30°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD；
（2）解：圖②猜想結論：DF+BH=BD；理由如下：
同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD；
圖③猜想結論：DF+BH=BD；理由如下：
同（1）可證：AD=DF+AF=DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=60°，
∴AD=BD，
∴DF+BH=BD．