Question

【題目】如圖，四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=CD=6， ∠C=60°．點E是邊AD上一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△HBE ．

（1）當點B、D、H三點在一直線上時，求線段AE的長；

（2）當點A的對稱點H正好落在DC上時，有動點P從點H出發沿線段HB向點B運動，同時動點Q從點B出發沿線段BA向點A運動，速度均為每秒1個單位長度，連接PQ交折痕BE于點M．設運動時間為t秒．

① 探究：當時間t為何值時，△PBM為等腰三角形；

② 連接AM，請直接寫出BM＋2AM的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）AE=6-9；（2）①t=2s或s；②6

【解析】

（1）由等邊三角形的性質和直角三角形的性質可求AD=DB=3，AB=AD=3，由折疊的性質可得AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，由勾股定理可求解；

（2）①分三種情況討論，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可求解；

②過點M作MN⊥BH于N，連接AN，由三角形三邊關系可得BM+AM≥AN，當點A，點M，點N三點共線，且AN⊥BH時，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，由直角三角形的性質可求解．

解：（1）∵BC=CD=6，∠C=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD=BC=CD=6，∠C=∠DBC=∠BDC=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=60°，

∴∠ABD=30°，

∴AD=DB=3，AB=AD=3，

當點B、D、H三點在一直線上時，如圖，

∵將△ABE沿BE翻折得到△HBE，

∴AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，

∴DH=6-3，

∵DE2=EH2+DH2，

∴（3-AE）2=AE2+（6-3）2，

∴AE=6-9

（2）①∵將△ABE沿BE翻折得到△HBE，當點A的對稱點H正好落在DC上，且∠ADB=∠CDB=60°，

∴點E與點D重合，AB=BH=2，∠ABE=∠HBE=30°，

如圖，若BM=PM時，則∠MPB=∠MBP=30°，

∴∠QMB=60°，

∴∠BQP=90°，

又∵∠QPB=30°，

∴BP=2QB，

∴2-t=t，

∴t=，

如圖，若BM=BP時，則∠BPM=∠BMP=75°，

∴∠BQM=∠BMP-∠ABD=45°，

過點P作PF⊥AB于F，

∴△PFQ是等腰直角三角形，

∴PF=FQ，

∵∠PBF=60°，PF⊥AB，

∴∠BPF=30°，

∴BF=BP=（2-t），PF=BF=（2-t）=QF，

∵BQ=BF+QF，

∴t=（2-t）+（2-t），

∴t=2，

當BP=PM時，不合題意舍去，

綜上所述：當t=2s或s時，△PBM為等腰三角形；

②如圖，過點M作MN⊥BH于N，連接AN，

∵∠MBN=30°，MN⊥BH，

∴MN=BM，

∴BM+2AM=2（BM+AM），

∵MN+AM≥AN，

∴BM+AM≥AN，

∴當點A，點M，點N三點共線，且AN⊥BH時，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，

此時，AN⊥BH，∠ABN=60°，

∴BN=AB=，AN=BN=3，

∴BM+2AM最小值為6，

故答案為：6．