Question

【題目】在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足為E、F，如圖①．

（1）請探索BE、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數量關系，若點P在DC的延長線上（如圖②），那么這三條線段的長度之間又有怎樣的數量關系？若點P在CD的延長線上呢（如圖③）？請分別直接寫出結論．

（2）請在（1）中的三個結論中選擇一個加以證明．

Answer 1

【答案】（1）圖①中，BE=DF+EF；圖②中，BE=DF-EF；圖③中，BE=EF-DF；（2）見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=AD，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再證明△ABE和△DAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DF，AF=BE，然后結合圖形求解即可；

（2）根據正方形的性質可得AB=AD，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，證明△ABE和△DAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DF，AF=BE，然后結合圖形求AF=AE+EF，即BE=DF+EF；

解：

（1）在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠AEB=∠DFA=90°，

∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴AE=DF，AF=BE，

如圖①，∵AF=AE+EF，

∴BE=DF+EF，

如圖②，∵AE=AF+EF，

∴BE = DF -EF，

如圖③，∵EF=AE+AF，

∴BE = EF -DF

（2）證明：如圖題①，

∵ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．

∵∠DAF+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∴Rt△ABE≌Rt△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

而AF=AE+EF，

∴BE=DF+EF；