Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點為E,點P為直線AE上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）當t為何值時，△PAE的面積最大？并求出最大面積；

（3）是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝時，△PAE的面積最大，最大值是；（3）t的值為1或．

【解析】

（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由拋物線的對稱性可求得E點坐標，從而可求得直線EA的解析式，作PM∥y軸，交直線AE于點M，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PAE的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值即可；

（3）由題意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°兩種情況，當∠PAE＝90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；當∠APE＝90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值．

解：（1）由題意得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴拋物線對稱軸為x＝1，

∴E（3，0），

設直線AE的解析式為y＝kx+3，

∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，

∴直線AE的解析式為y＝﹣x+3，

如圖1，作PM∥y軸，交直線AE于點M，設P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

∴＝＝，

∴t＝時，△PAE的面積最大，最大值是．

（3）由圖可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，

①當∠PAE＝90°時，如圖2，作PG⊥y軸，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA＝45°，

∴∠PAG＝∠APG＝45°，

∴PG＝AG，

∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），

②當∠APE＝90°時，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，

則PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，

∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴，

∴，

即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），

綜上可知存在滿足條件的點P，t的值為1或．