Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方．

（1）若直線AB與有兩個交點F、G．

①求∠CFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍；

（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）45°; FG2=64×（1-）（4≤b＜5）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行∠CFE=45°，

（2）作OM⊥AB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根據(jù)式子寫出b的范圍，

（3）當b=5時，直線與圓相切，存在點P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點P的坐標，再求出OP所在的直線解析式．

試題解析：（1）①如圖1，

∵∠COE=90°

∴∠CFE=∠COE=45°;

如圖2，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵OM⊥AB，直線的函數(shù)式為：y=-x+b，

∴OM所在的直線函數(shù)式為：y=x，

∴交點M（，）

∴OM2=（）2+（）2，

∵OF=4，

∴FM2=OF2-OM2=42-（）2-（）2，

∵FM=FG，

∴FG2=4FM2=4×[42-（）2-（）2]=64-=64×（1-），

∵直線AB與有兩個交點F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1-）（4≤b＜5）

（2）如圖，

當b=5時，直線與圓相切，

∵在直角坐標系中，∠COE=90°，

∴∠CPE=∠ODC=45°，

∴存在點P，使∠CPE=45°，

連接OP，

∵P是切點，

∴OP⊥AB，

∴△APO∽△AOB，

∴，

∵OP=r=4，OB=5，AO=，

∴

即AP=，

∵AB==，

作PM⊥AO交AO于點M，設(shè)P的坐標為（x，y），

∵△AMP∽△AOB，

∴

∴，

∴y=，

∴x=OM=

∴點P的坐標為（，）．

當b＞5時，直線與圓相離，不存在P點.

考點：圓的綜合題．