Question

【題目】圖1和圖2，半圓O的直徑AB=2，點P（不與點A，B重合）為半圓上一點，將圖形延BP折疊，分別得到點A，O的對稱點A′，O′，設∠ABP=α．

（1）當α=15°時，過點A′作A′C∥AB，如圖1，判斷A′C與半圓O的位置關系，并說明理由．

（2）如圖2，當α= °時，BA′與半圓O相切．當α= °時，點O′落在上．

（3）當線段BO′與半圓O只有一個公共點B時，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A′C與半圓O相切；理由見解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

試題（1）過O作OD⊥A′C于點D，交A′B于點E，利用含30°角的直角三角形的性質可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C與半圓相切；

（2）當BA′與半圓相切時，可知OB⊥A′B，則可知α=45°，當O′在上時，連接AO′，則可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；

（3）利用（2）可知當α=30°時，線段O′B與圓交于O′，當α=45°時交于點B，結合題意可得出滿足條件的α的范圍．

試題解析：（1）相切，理由如下：

如圖1，過O作OD過O作OD⊥A′C于點D，交A′B于點E，

∵α=15°，A′C∥AB，

∴∠ABA′=∠CA′B=30°，

∴DE=A′E，OE=BE，

∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，

∴A′C與半圓O相切；

（2）當BA′與半圓O相切時，則OB⊥BA′，

∴∠OBA′=2α=90°，

∴α=45°，

當O′在上時，如圖2，

連接AO′，則可知BO′=AB，

∴∠O′AB=30°，

∴∠ABO′=60°，

∴α=30°，

（3）∵點P，A不重合，∴α＞0，

由（2）可知當α增大到30°時，點O′在半圓上，

∴當0°＜α＜30°時點O′在半圓內，線段BO′與半圓只有一個公共點B；

當α增大到45°時BA′與半圓相切，即線段BO′與半圓只有一個公共點B．

當α繼續增大時，點P逐漸靠近點B，但是點P，B不重合，

∴α＜90°，

∴當45°≤α＜90°線段BO′與半圓只有一個公共點B．

綜上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．