Question

如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，－3），設拋物線的頂點為D

1.求該拋物線的解析式與頂點D的坐標

2.以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

3.探究軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

 

1.設該拋物線的解析式為，

由拋物線與y軸交于點C（0，－3）,可知. （1分）

即拋物線的解析式為．                

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 

解得.（3分）∴ 拋物線的解析式為y = x²－2x－3．  

∴ 頂點D的坐標為

2.以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形.  （5分）理由如下：

過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF－OC=4－3=1，

∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB－OE=3－1=2，

∴ . 

∴ ， 故△BCD為直角三角形.（7分）

3.符合條件的點有二個：P₁（0，0），P₂（9，0）

解析:略