Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出該拋物線的解析式，進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標．
（2）根據B、C、D的坐標，可求得△BCD三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可．
（3）假設存在符合條件的P點；首先連接AC，根據A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據相似三角形的性質（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．

解答：解：（1）設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點C（0，-3），可知c=-3，
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴頂點D的坐標為（1，-4）．

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形，
理由如下：
過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，故△BCD為直角三角形．

（3）連接AC，則容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）．
過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為P1(0，

1

3

)．
過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為P₂（9，0）．
∴符合條件的點有三個：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等知識，（3）題中能夠發現點O是符合要求的P點，是解決此題的突破口．