Question

（2012•歷下區一模）如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C（0，3），M是拋物線對稱軸上的任意一點，則△AMC的周長最小值是

10

+5

．

Answer 1

分析：連接BC，與拋物線的對稱軸交于M，連接AM，AC，由A與B關于拋物線對稱軸對稱，利用兩點之間線段最短得到此時△AMC的周長最小，其值等于AC+AM+CM，再由線段垂直平分線定理得到MA=MB，等量代換可得出周長最小值為AC+BC，由A、B、C三點的坐標得到OA、OB、OC的長，在直角三角形AOC與直角三角形BOC中，利用勾股定理分別求出AC與BC的長，即可得到三角形AMC周長的最小值．

解答：解：連接BC，與拋物線的對稱軸交于M，連接AM，AC，此時△AMC的周長最小，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA=1，OB=4，OC=3，
在Rt△AOC中，根據勾股定理得：AC=

OA2+OC2

=

10

，
在Rt△BOC中，根據勾股定理得：BC=

OB2+OC2

=5，
∵A與B關于拋物線對稱軸對稱，
∴MA=MB，
則△ACM周長最小值為AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC=

10

+5．
故答案為：

10

+5

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及軸對稱-最短路線問題，根據題意得出周長最小值為AC+BC是解本題的關鍵．