Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點，連接AD、AE，以△ADE的邊AE所在直線為對稱軸作△ADE的軸對稱圖形△AD′E，連接D′C，若BD＝CD′．

（1）求證：△ABD≌△ACD′；

（2）如圖2，若∠BAC＝120°，探索BD，DE，CE之間滿足怎樣的數量關系時，△CD′E是正三角形；

（3）如圖3，若∠BAC＝90°，求證：DE2＝BD2+EC2．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝DE＝CE的數量關系時，△CD′E是正三角形；（3）見解析．

【解析】

（1）根據軸對稱的性質得到AD=AD`，即可證明△ABD≌△ACD′

（2）由（1）可得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，再根據軸對稱的性質得到∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝∠BAC＝60°，得到△CD′E是正三角形，即可解答

（3）利用勾股定理即可解答

（1）證明：∵△ADE與△AD′E是關于AE的軸對稱圖形，

∴AD＝AD′，

在△ABD和△ACD′中， ，

∴△ABD≌△ACD′（SSS）；

（2）解：∵△ABD≌△ACD′，

∴∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，

∵△ADE與△AD′E是關于AE的軸對稱圖形，

∴∠DAE＝∠EAD′，DE＝ED′，

∴∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝∠BAC＝60°，

∵△CD′E是正三角形，

∴CE＝CD′＝ED′，

∵BD＝CD′，DE＝ED′，

∴BD＝DE＝CE；

（3）證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，

∴∠ECD′＝90°，

∴ED′2＝CD′2+EC2，

∵BD＝CD′，DE＝ED′，

∴DE2＝BD2+EC2．