Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點E為AD的中點．若點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BC上由點B向點C運動．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PE和線段PQ的位置關系；

(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，運動時間為t秒，設△PEQ的面積為Scm2，請用t的代數式表示S；

(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）S=t+6；（3）

【解析】

（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因為∠AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP、CQ的長度，然后用矩形的面積減去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm2．
（3）設Q運動的速度為xcm/s，則根據△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，從而可列出方程組，解出即可得出答案．

(1)∵長方形ABCD，

∴∠A=∠B=90°，

∵點E為AD的中點，AD=6cm，

∴AE=3cm，

又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，

∴AE=BP，

在△AEP和△BQP中，

∴△AEP≌△BPQ，

∴∠AEP=∠BPQ，

又∵∠AEP+∠APE=90°，

故可得出∠BPQ+∠APE=90°,即∠EPQ=90°，

即EP⊥PQ.

(2)連接QE,由題意得：AP=BQ=t,BP=4t,CQ=6t,

SPEQ=SABCDSBPQSEDCQSAPE

=AD×ABAE×APBP×BQ (DE+CQ)×CD

=24×3tt(4t) ×4(3+6t)

=t+6，

(3)設點Q的運動速度為xcm/s，

①經過y秒后,△AEP≌△BQP，則AP=BP，AE=BQ，

∴，

解得：，

即點Q的運動速度為cm/s時能使兩三角形全等.

②經過y秒后,△AEP≌△BPQ，則AP=BQ，AE=BP，

∴

解得： (舍去).

綜上所述,點Q的運動速度為cm/s時能使兩三角形全等.