Question

【題目】已知y關于x的二次函數：y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n．

（1）當m=t=0時，判斷該函數圖象和x軸的交點個數；

（2）若n=t=3m，當x為何值時，函數有最值；

（3）是否存在實數m和t，使該函數圖象和x軸有交點，且n的最大值和最小值分別為8和4？若存在，求m和t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)x=函數有最大值為 (3) 不存在實數m和t，使該函數圖象和x軸有交點

【解析】試題分析：（1）利用判別式求交點個數.(2)化簡二次函數，配方，求最值.(3)配方求最值，最值用n,m,t表示，假設且n的最大值和最小值分別為8和4，代入求m,t,無解.

試題解析：

（1）當m=t=0時，y=﹣nx2+nx﹣n，

△=n2﹣4×(﹣)n×（﹣n）=﹣n2，

當n=0時，△=0，該函數圖象與x軸有1個交點；

當n≠0時，△＜0，該函數圖象與x軸沒有交點；

（2）若n=t=3m，拋物線的解析式為：y=（m﹣3m）x2+3mx=﹣mx2+3mx=﹣m（x﹣）2+，

當﹣m＞0，即m＜0時，

所以當x=時，函數有最小值為，

當﹣m＜0，即m＞0時，

所以當x=時，函數有最大值為；

（3）y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n，

△=n2﹣4×（m﹣n）（t﹣n）=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

設w=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

∵該函數圖象和x軸有交點，

∴w≥0，

∵n的最大值和最小值分別為8和4，

∴新二次函數w與n軸有兩個交點為（4，0）和（8，0），

則w=﹣（n﹣4）（n﹣8）=﹣n2+12n﹣32，

∴,

,

此方程組無實數解，

∴不存在實數m和t，使該函數圖象和x軸有交點．