Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點C（1，3）、D（3，1）分別作x軸的垂線，垂足分別為A、B．

（1）求直線CD和直線OD的解析式；

（2）點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交直線CD于點N，是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（點C在線段CD上，且不與點D重合），在平移的過程中，設平移距離為t，△AOC與△OBD重疊部分的面積記為s，試求s與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）直線OD的解析式為y＝x；（2）存在．滿足條件的點M的橫坐標或，理由見解析；（3）S＝﹣（t﹣1）2+．

【解析】

（1）理由待定系數法即可解決問題；
（2）如圖，設M（m，m），則N（m，-m+4）．當AC=MN時，A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，可得|-m+4-m|=3，解方程即可；
（3）如圖，設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．根據S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG計算即可；

（1）設直線CD的解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+4．

設直線OD的解析式為y＝mx，則有3m＝1，m＝，

∴直線OD的解析式為y＝x．

（2）存在．

理由：如圖，設M（m， m），則N（m，﹣m+4）．

當AC＝MN時，A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴|﹣m+4﹣m|＝3，

解得m＝或，

∴滿足條件的點M的橫坐標或．

（3）如圖，設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．

設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；

設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．

因為平移距離為t，所以水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），

則圖中AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）．

設直線O′C′的解析式為y＝3x+b，

將C′（1+t，3﹣t）代入得：b＝﹣4t，

∴直線O′C′的解析式為y＝3x﹣4t．

∴E（t，0）．

聯立y＝3x﹣4t與y＝x，解得x＝t，

∴P（t， t）．

過點P作PG⊥x軸于點G，則PG＝t．

∴S＝S△OFQ﹣S△OEP＝OFFQ﹣OEPG

＝（1+t）（+t）﹣tt

＝﹣（t﹣1）2+．