Question

【題目】如圖（1），平面直角坐標系中，直線y=與x軸、y軸分別交于點B、D，直線y=與x軸、y軸分別交于點C、E，且兩條直線交于點A．

（1）若OH⊥CE于點H，求OH的長．

（2）求四邊形ABOE的面積．

（3）如圖（2），已知點F（﹣ ，0），在△ABC的邊上取兩點M、N，是否存在以點O，M，N為頂點的三角形與△OFM全等，且兩個三角形在邊OM的異側？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由．（溫馨提示：若點A（x1，y1），點B（x2，y2），則線段AB的中點坐標為（，）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足條件的點M坐標為（﹣， ）或（﹣，）或（﹣， ）或（0，3）．

【解析】

（1）利用面積法：×CE×OH=×OC×OA即可解決問題；

（2）求出A、E、B、A的坐標，利用分割法即可解決問題；

（3）分四種情形分別求解即可解決問題.

（1）∵直線y=與x軸、y軸分別交于點C、E，

∴C（﹣4，0），E（0，3），

∴OC=4，OE=3，

∴EC=，

∵OH⊥CE，

∴×CE×OH=×OC×OA，

∴OH==．

（2）如圖1中，連接OA．

∵直線y=與x軸、y軸分別交于點B、D，

∴D（0，4），B（3，0），

由，解得，

∴A（，），

∴S四邊形ABOE=S△AOE+S△AOB=×3×+×4×=．

（3）①如圖2中，當FM⊥OC時，△OMN≌△OMF．

∵F（﹣，0），OH=，

∴OF=OH，

∴當FM⊥OC時，△OMN≌△OMF，

此時M（﹣，）．

②如圖3中，作ON⊥AB于N，易知N（，），ON=OF，當OM平分∠CON時，△OMN≌△OMF．

設M（m，m+3），由MF=MN，可得：（m+）2+（m+3）2=（m﹣）2+（）2，

解得m=﹣，

∴M（﹣，）．

③如圖4中，當MN∥OF，且MN=OF時，△OFM≌△MNO．

設M（x，x+3），則N（x+，﹣（x+）+4），

∴x+3=﹣（x+）+4，

解得x=﹣，

∴M（﹣，）．

④如圖5中，當點M與E重合，且OF=ON時，△OMF≌△OMN，此時M（0，3）．

綜上所述，滿足條件的點M坐標為（﹣，）或（﹣，）或（﹣，）或（0，3）．